第十五講 相似三角形(一)

∠BAD=∠CAD=60°．

∠BAD=∠EDA=60°，

　　所以△ADE是正三角形，所以

　　EA=ED=AD． ①

　　由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以

　　從而

　　例4 如圖2-67所示． ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE交CD于F，EO延長(zhǎng)線交AB于G．求證：

　　分析 與例2類(lèi)似，求證中諸線段的位置過(guò)于“分散”，因此，應(yīng)利用平行四邊形的性質(zhì)，通過(guò)添加輔助線使各線段“集中”到一個(gè)三角形中來(lái)求證．

　　證 延長(zhǎng)CB與EG，其延長(zhǎng)線交于H，如虛線所示，構(gòu)造平行四邊形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以

　　在△OED與△OBH中，

∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，

　　所以 △OED≌△OBH(AAS)．

DE=BH=AI，

　　例5(梅內(nèi)勞斯定理) 一條直線與三角形ABC的三邊BC，CA，AB(或其延長(zhǎng)線)分別交于D，E，F(如圖2-68所示)．求

　　分析 設(shè)法引輔助線(平行線)將求證中所述諸線段“集中”到同一直線上進(jìn)行求證．

　　證 過(guò)B引BG∥EF，交AC于G．由平行線截線段成比例性質(zhì)知

　　說(shuō)明 本題也可過(guò)C引CG∥EF交AB延長(zhǎng)線于G，將求證中所述諸線段“集中”到邊AB所在直線上進(jìn)行求證．

　　例6 如圖2-69所示．P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作線段DE，FG，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．

　　分析 由于圖中平行線段甚多，因而產(chǎn)生諸多相似三角形及平行四邊形．利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)及平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)，首先得到一個(gè)一般關(guān)系：

　　進(jìn)而求d．

　　因?yàn)?/FONT>FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四邊形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四邊形．△BHI∽△AFG∽△ABC，從而

　　將②代入①左端得

　　因?yàn)?/P>

　　DE=PE＋PD=AI＋FB， ④

　　AF=AI＋FI， ⑤

　　BI=IF＋FB． ⑥

　　由④，⑤，⑥知，③的分子為

DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．

　　從而

　　即

　　下面計(jì)算d．

　　因?yàn)?/FONT>DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得

　　解得d＝306．

練習(xí)十五

　　1．如圖2-70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O點(diǎn)，過(guò)O的直線分別交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．

　　2．已知P為ABCD邊BC上任意一點(diǎn)，DP交AB的延長(zhǎng)線于Q

　　3．如圖 2-72所示．梯形 ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN與對(duì)角線BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．

　

　　4．P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作DE，FG，IH分別平行于AB，BC，CA(如圖2-73所示)．求證：

　　

　　5．如圖 2-74所示．在梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一條直線交BA延長(zhǎng)線于E，交DC延長(zhǎng)線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC∶AB．

　　6．已知P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連AP，BP，CP并延長(zhǎng)分別交對(duì)邊于D，E，F．求證：

　　

　

　　不少于2．

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