§17．1集合

　　我們考察某些事物的時候，常常要考慮由這些事物組成的群體，我們把這個群體叫作集合．組成某個集合的事物，叫作這個集合的元素．通常用大寫字母A，B，C…等表示集合，小寫字母a，b，c，…等表示元素．如果m是集合A的元素，就說m屬于A，記作m∈A．如果n

　　(i)你的家庭中所有成員組成一個集合，你和你的家庭中的其他各個成員都是這個集合中的元素．

　　(ii)自然數全體1，2，3，…組成一個集合(通常把它叫作自然數集)．

　　(iii)如果A，B是平面上兩個不同的點，那么A，B兩點所確定的直線上的點組成一個集合，這條直線上每個點都是這個集合的元素．

　　(1)列舉法

　　(i)由a，b，c，d，e五個小寫字母組成的集合A，記作

A=｛a，b，c，d，e｝，

A=｛b，a，c，d，e)．

　　(ii)由小于40的質數組成的集合B，記作

B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝．

　　(iii)平方等于1的有理數集合C，記作

C=｛1，-1｝．

　　(iv)三條直線l₁，l₂，l₃組成的集合D，記作

D=｛l1，l2，l3｝．

　　(2)特征性質描述法

　　所謂特征性質是指集合中元素的特征性質，即：(i)這個集合中每個元素都具有這些性質；(ii)具有這些性質的事物都是這個集合的元素．

　　例如，集合=｛1,-1｝用特征性質描述法表示就是

A=｛x│x²=1｝，

A=｛x││x│=1｝．

　　全體偶數組成的集合B，用特征性質描述法表示就是

B=｛x│x是能被2整除的整數｝，

B=｛2n│n是整數｝．

　　全體奇數組成的集合C，用特征性質描述法表示就是

C=｛x│x是不能被2整除的整數｝，

C=｛2n＋1│n是整數｝，

C=｛2n-1│n是整數｝．

　　一般地，用特征性質α表示集合A的形式是：

A=｛x│x具有性質α｝．

　　(1)包含與子集

　　(i)你班上的同學的集合和你學校的同學的集合之間的關系是：前者是后者的子集，后者包含前者．

　　(ii)設集合

　　例1 設A=｛1，2，3，4｝，試寫出A的所有子集．

　　｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝．

　　(2)交集運算

　　對于給定的集合A，B，由它們的公共元素所構成的集合叫作集合A與B的交集．我們用A∩B表示A，B的交集(圖2-88)．例如

　　(i)如圖2-89，設

A=｛x│x是12的正因數｝，

B=｛x│5＜x＜13，x是整數｝，

　　A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝．

　　所以 A∩B=｛6，12｝．

　　(ii)設l₁，l₂是平面上兩條不同的直線，則l₁∩l₂就是由它們的交點組成的集合．

　　如果l₁與l₂相交于一點P，則l₁∩l₂=｛P｝(圖2-90)；

　　(3)并集運算

　　對于給定的兩個集合A，B，把它們所含的元素合并起來所構成的集合，叫作集合A，B的并集，我們用符號A∪B表示A，B的并集(圖2-92)．例如

　　(i)設M，N分別表示你班上男生、女生的集合，那么M∪N就是你班上同學的集合．

　　(ii)設

A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝，

　　則 A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝．

　　注意 在求上述集合A，B的并集時，雖然在A，B中都有3和5，但在A∪B中，3，5只取一次．

　　(iii)設E=｛x│x是實數，且x≥4｝，

　　F={x│x是實數，且x≤-4}，G={x│x²≥16}．

　　則 E∪F=G．

　　一般地說，如果α，β分別是集合A，B的特征性質，即

　　A={x│x具有性質α} ，B=｛x│x具有性質β｝，則A∪B就是那些具有性質α或性質β的元素組成的集合，也就是

A∪B=｛x│x具有性質α或β｝，

A∪B={x│x∈A或x∈B}．

　　例2 設

　　A={x│x是12的正因數}，B={x│x是18的正因數}，

C={x│0≤x≤5，且x∈Z}．

　　求：(1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C．

　　解 根據已知條件，用填文氏圖各區域的元素的方法來解決(如圖2-93(a)，(b)).

　　(1)A∩B∩C=｛1，2，3｝；

　　(2)A∪B∪C=｛0，1，2，3，4，5，6，9，12，18｝．

　　例3 設A={1，a，a²} ，B={1，a，b)，假定A，B中的元素都是整數，并且A∩B=｛1，3｝，A∪B=｛1，a，2a，3a｝，求a，b的值．

　　解 因為A=｛1，a，a²｝，B=｛1，a，b｝，所以

A∩B＝｛1，a｝．

　　已知A∩B=｛1，3｝．所以a=3．又由于

　　A∪B=｛1，a，b，a²｝=｛1，a，2a，3a｝=｛1，3，6，9｝，所以b=6．

　　邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思維法則的一門學科．數學和邏輯的關系非常密切，在此，對邏輯知識做一些初步介紹．

　　如果設A={x│x是4的倍數}，B={x│x是2的倍數}，則A中元素具有性質α――4的倍數；B中元素具有性質β――2的倍數．我們知道：如果某元素x是4的倍數，那么x一定是2的倍數，即具有性質

　　(1)命題和逆命題

　　(i)雪是白的；

　　(ii)如果∠1和∠2是對頂角，那么∠1=∠2；

　　(iii)3+4=6；

　　上述所列都是對客觀事物做出判斷的語句．人們對客觀事物的情況做出判斷可能是正確的(真)，也可能是錯誤的(假)．我們把肯定或否定的判斷語句叫作命題．上述語句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命題．

　　關于命題的真假性，有些容易判斷，如(i)，(ii)是真命題，(iii)是假命題．但對(iv)的真假性就不是顯然可判斷的．可通過設x=1，y=0(x＞y)，那么

　　因此，命題(iv)為假命題(注意：證明一個命題為真命題，必須通過邏輯推演，但要證明一個命題為假命題只須舉出一個反例即可)．

　　(i)“如果2×3=6，那么6÷3=2”是真命題．它的逆命題“如果6÷3=2，那么2×3=6”也是真命題．

　　(ii)“若a=0并且b=0，則ab=0”是真命題，但它的逆命題“若ab=0，則a=0并且b=0”就不是真命題．

　　(iii)“如果∠1，∠2是對頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它的逆命題“∠1=∠2，那么∠1，∠2是對頂角”就是假命題．

　　(2)證明

　　例如，(i)若

　　∠1和∠2是對頂角，①

　　則 ∠1=∠2．③

　　(ii) 張三是人，①

　　已知：∠1是∠2的對頂角(圖2-98)，求證：∠1=∠2．

　　應用已經被確認的正確命題和已知條件作根據，經過推演，導出某一命題成立，這種方法就叫作演繹推理法(簡稱演繹法)．演繹法是證明數學問題的重要方法．

　　　　　　

　　　　　　＝a²＋b²＋c²

　　(a+b-c)²=a²+b²+c².

　　例2 某校數學競賽，A，B，C，D，E，F，G，H八位同學獲得了前八名，老師叫他們猜一下誰是第一名．A說：“或者F，或者H是第一名．”B說：“我是第一名．”C說：“G是第一名．”D說：“B不是第一名．”E說：“A說的不對．”F說：“我不是第一名．”G說：“C不是第一名．”H說：“我同意A的意見．”老師說八個人中有三人猜對了，那么試問第一名是誰？

　　分解與解 由已知條件可知：A與H同真假，E與F同真假，B與D必定一真一假．

　　(i)如果A與H猜對了，那么D與G也都猜對了．這樣就有四人猜對，不合題意，因此，A與H必定都猜錯了．

　　(ii)如果E與F猜對了，即F與H都不是第一名，這時若B猜對了，那么D就猜錯了，C也猜錯了，G猜對了，這樣，就有E，F，B，G四人猜對，也與題意不符．因此B猜的不對，D猜對了，這時已有E，F，D三人猜對，所以G，C都必定猜錯了，所以C是第一名．

　　1．已知A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7}，C={2，3，5，8} ，寫出集合：

　　(1)A∩B∩C； (2)A∪B∪C；

　　(3)A∩(B∪C)；(4)A∪(B∩C)．

　　3．有某種產品100個，通過兩種檢查，第一種檢查合格品有90個，第二種檢查合格品有78個，兩種檢查都合格的有72個．試問這100個產品中，通過兩種檢查都不合格的產品有多少個？

　　(1)a＞0□│a│＞0；

　　(2)a＝0且b=0□a²＋b²=0；

　　(3)(x-a)(x-b)=0□x=a或x=b；

　　(4)如果α＞1，β＞2，γ＞3，那么，α□γ，β□α，β□γ．

　　5．寫出下列命題的逆命題，并指出其真假．

　　(1)若a=b，則(a-b)² =0；

　　(2)若a=b，則a²-b²=0；

　　(3)若a≠b，則a²＋b²＞2ab；

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