第九講 判別式及其應用

　　1．判定方程根的情況

　　例1 已知方程x²-2x-m=0沒有實數根，其中m是實數．試判定方程x²+2mx+m(m+1)=0有無實數根．

　　解 因為方程x²-2x-m=0無實數根，所以

△₁=(-2)²-4×(-m)=4+4m＜0，

　　即 m＜-1．

△₂=(2m)²-4m(m+1)=-4m＞0，

　　所以方程x²+2mx+m(m+1)=0有兩個不相等的實根．

　　例2 已知常數a為實數，討論關于x的方程

(a-2)^x2+(-2a+1)x+a=0

　　當a≠2時，原方程為一元二次方程，其判別式

△=(-2a+1)²-4(a-2)a=4a+1，

　　說明 對于一個二次項系數含參數的方程，要按照二次項系數為零或不為零來討論根的情況，前者為一次方程，后者為二次方程，不能一上來就用判別式．　

　　2．確定方程中系數的值或范圍

　　例3 關于x的一元二次方程

　　有實根，其中a是實數，求a⁹⁹+x⁹⁹的值．

　　解 因為方程有實根，所以

　　即 -a²-2a-1≥0．

　　因為-(a+1)²≥0，所以a+1=0，a=-1．

　　當a=-1時，原方程為x²-2x+1=0，x=1，所以

a⁹⁹+x⁹⁹=(-1)⁹⁹+1⁹⁹=0．

　　例4 若方程

x²+2(1+a)x+3a²+4ab+4b²+2=0

　　有實根，求a，b的值．

　　解 因為方程有實根，所以它的判別式

△=4(1+a)²-4(3a²+4ab+4b²+2)≥0，

2a²+4ab+4b²-2a+1≤0，

　　所以 　　　　　　　(a+2b)²+(a-1)²≤0，

　　說明 在本題中，只有一個不等式而要求兩個值，通常是通過配方把這個不等式變形為“若干個非負數之和小于等于零”，從而可以得到一個方程組，進而求出要求的值．

　　例5 △ABC的一邊長為5，另兩邊長恰是方程

2x²-12x+m=0

　　的兩個根，求m的取值范圍．

　　解 設△ABC的三邊分別為a，b，c，且a=5，由

△=12²-4?2?m=144-8m≥0

25=a²＞(b-c)²=(b+c)²-4bc=36-2m，

　　3．求某些方程或方程組的解

　　例6 求方程5x²+5y²+8xy+2y-2x+2=0的實數解．

　　解 先把y看作是常數，把原方程看成是關于x的一元二次方程，即

5x²+(8y-2)x+(5y²+2y+2)=0．

　　因為x是實數，所以判別式

△=(8y-2)²-4?5?(5y²+2y+2)≥0，

y²+2y+1≤0，

　　即(y+1)²≤0，從而y=-1．將y=-1代入原方程，得

5x²-10x+5=0，

　　故x=1．所以，原方程的實數解為x=1，y=-1．

　　說明 (1)本題也可以把x看作常數，把方程寫成關于y的一元二次方程，再用判別式來求解．

　　(2)本題還可以用配方的方法，把原方程變形為

4(x+y)²+(x-1)²+(y+1)²=0，

　　從而x=1，y=-1．

　　例7 解方程組

　　解 引入待定系數k，由k?①+②得

△=(k+4)²-4(k+7)(k-1)=0．

　　4．證明不等式，求最大值和最小值

　　是多少？

(x-3)²+(kx-3)²=6，

　　即 　　　　　　　(k²+1)x²-6(k+1)x+12=0，

　　將它看成關于x的一元二次方程．因x是實數，所以

△=36(k+1)²-48(k²+1)≥0，

　　即 　　　　k²-6k+1≤0． ①

　　解 由于

　　所以 yx²+(y-2)x+y=0，

　　上式可以看成關于x的一元二次方程．因x為實數，所以

△=(y-2)²-4y²≥0，

　　即　　　　　3y²+4y-4≤0，

(3y-2)(y+2)≤0．

　　當y=-2時，代入yx²+(y-2)x+y=0中，得x=-1，即x=-1時，y=

　　例10 實數a，b，c滿足a+b+c=2，且對任何實數t，都有不等式

-t²+2t≤ab+bc+ca≤9t²-18t+10，

　　證 因為對任何實數t，有

-t²+2t=-(t-1)²+1≤1，

9t²-18t+10=9(t-1)²+1≥1，

　　當t=1時，便有

1≤ab+bc+ca≤1，

　　所以　　　　　　　ab+bc+ca=1．

　　由于a+b=2-c，于是

ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)²，

　　于是a，b是一元二次方程

t²-(2-c)t+(c-1)²=0

△=(2-c)²-4(c-1)²≥0，

　　即 3c²-4c≤0，

　　1．選擇：

　　(1)某一元二次方程根的判別式△=2m²-6m+5，此方程根的情況是[　　]

　　(A)有兩個不相等的實根

　　(B)有兩個相等的實根

　　(C)沒有實根

　　(D)由實數m的值而定

　　(2)關于x的方程2kx²+(8k+1)x=-8k有兩個實根，則k的取值范圍是[　　]

　　(3)如果關于x的方程mx²-2(m+2)x+m+5=0沒有實根，那么關于x的方程(m-5)x²-2(m+2)x+m=0的實根個數為 [　　]

　　(A)2個 　　　　　　(B)1個

　　(C)0個 　　　　　　(D)不確定

　　(4)方程(x+1)²+(y-2)²=1的整數解有 [　　]

　　(A)1組 　　　　　　(B)2組

　　(C)4組 　　　　　　(D)無數組

　　(5)若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根，則判別式△=b²-4ac與平方式M=(2ax₀+b)²的關系是 [　　]

　　(A)△＞M 　　　　　　(B)△=M

　　(C)△＜M 　　　　　　(D)不確定

　　2．填空：

　　(1)關于x的方程(a²-4)x²-2(a+2)x+1=0

　　恰有一個實根，則a=____．

　　(2)設m是不為0的整數，二次方程mx²-(m-1)x+1=0有有理根，則m=____．

　　(3)當m=____時，二次方程(m²-2)x²-2(m+1)x+1=0

　　(4)p，q是正數，如果方程x²+px+q=0的兩個根之差是1，那么p=____．

　　(5)若x為實數，且有4y²+4xy+x+6=0，則使y取實數值的所有x值的范圍是____．

　　3．求方程5x²-12xy+10y²-6x-4y+13=0的實數解．

　　4．解方程組

　　5．已知a，b是整數，x²-ax+3-b=0有兩個不相等的實根，x²+(6-a)x+7-b=0有兩個相等的實根，x²+(4-a)x+5-b=0沒有實根，求a，b的值．

　　6．已知a是實數，且關于x的方程x²-ax+a=0有兩個實根u，v，求證：u²+v²≥2(u+v)．

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