第四講 有關(guān)方程組的問題

　　1．二元二次方程組

　　例1 解方程組

　　解 ②×2-①×3得

4x＋9y-6＝0．

　　例2 解方程組

　　解 ②×(-2)+①得

3y²+3y-6=0，

所以 y₁=1，y₂=-2．

　　例3 解方程組

　　解 由②得

(2x+y)(x-2y)=0，

所以 　　　　　　　　　　　　　　　　　2x+y=0或x-2y=0．

　　例4 解方程組

　　解 由①-②×2得

x²-2xy-3y²=0，

即 (x+y)(x-3y)=0，

所以 x＋y=0或x-3y=0．

　　2．二元對(duì)稱方程組

　　方程中的未知數(shù)x，y互換后方程保持不變的二元方程叫作二元對(duì)稱方程．例如

x²-5xy＋y²-3x-3y=7，

　　例5 解方程組

　　解 方程組中的x，y分別是新方程

m²-5m+4=0

的兩個(gè)解．解關(guān)于m的一元二次方程得m₁=1，m₂=4，所以原方程組的解是

　　這個(gè)方程組亦可用代入法求解(略)．

　　由于一般的二元對(duì)稱式總可以用基本對(duì)稱式x+y和xy表示，因此在解二元對(duì)稱方程組時(shí)，一定可以用x＋y和xy作為新的未知數(shù)，通過換元轉(zhuǎn)化為基本對(duì)稱方程組．

　　例6 解方程組

　　解 原方程組可變形為

①×2＋②得

令u=x＋y，則

　　例7 解方程組

　　分析 本題是一個(gè)對(duì)稱方程組的形式，觀察知它可轉(zhuǎn)化為基本對(duì)稱方程組的形式．

　　解 由①得

xy=16． ④

　　例8 解方程組

　　分析 本題屬于二元輪換對(duì)稱方程組類型，通常可以把兩個(gè)方程相減，因?yàn)檫@樣總能得到一個(gè)方程x-y=0，從而使方程降次化簡(jiǎn)．

　　解 ①-②，再因式分解得

(x-y)(x+y-10)=0，

所以 x-y-0或x＋x-10=0．　　　　

　　例9 解方程組

解法1 用換元法．設(shè)

4x＋5=A，4y+5=B，

則有

　　　　　　

即

　　　　

③-④并平方得

整理得

所以

因此A-B=0或

分別解下列兩個(gè)方程組

與

　

　　經(jīng)檢驗(yàn)，A=B=9適合方程③，④，由此得原方程組的解是

　　

　　解法2 ①-②得

即

　

所以x-1與y-1同號(hào)或同為零．由方程①得

　

所以x-1與y-1不能同正，也不能同負(fù)．從而

x-1=0，y-1=0．

由此解得

　

　　經(jīng)檢驗(yàn)，x=1，y=1是方程組的解．

練習(xí)四

　　1．填空：

　　(1)方程組

的解有_____組．

　　(2)若x，y是方程組

　

　　(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，則2a+c=_____．

　　(4)已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足方程組

則xyz=________．

　　2．解方程組：

　　　　

　　　　　

　　　　　

　　3．設(shè)a，b，c，x，y，z都是實(shí)數(shù)．若

　

　　4．已知一元二次方程

a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0

有兩根0，1，求a∶b∶c．

　　5．(1)解方程組　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　

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