數學邏輯推理題31（猴子和桃子）

　　有5只猴子在海邊發現 一堆桃子,決定第二天來平分.第二天清晨,第一只猴子最早來到,它左分右分分不開,就朝海里扔了一只,恰好可以分成5份,它拿上自己的一份走了.第 2,3,4,5只猴子也遇到同樣的問題,采用了同樣的方法,都是扔掉一只后,恰好可以分成5份.問這堆桃子至少有多少只？

　　【解答】這堆桃子至少有3121只。

　　第一只猴子扔掉1個，拿走624個，余2496個；

　　第二只猴子扔掉1個，拿走499個，余1996個；

　　第三只猴子扔掉1個，拿走399個，余1596個；

　　第四只猴子扔掉1個，拿走319個，余1276個；

　　第五只猴子扔掉1個，拿走255個，余4堆，每堆255個。

　　如果不考慮正負，-4為一解

　　考慮到要5個猴子分，假設分n次。

　　則題目的解: 5^n-4

　　本題為5^5-4=3121.

　　設共a個桃，剩下b個桃，則b=(4/5)((4/5)((4/5)((4/5)((4/5)(a-1)-1)-1)-1)-1)-1)，即b=（1024a-8404）/3125 ; a=3b+8+53*(b+4)/1024，而53跟1024不可約，則令b=1020可有最小解，得a=3121 ,設桃數x,得方程

　　4/5{4/5{4/5[4/5(x-1)-1]-1}-1}=5n

　　展開得

　　256x=3125n+2101

　　故x=(3125n+2101)/256=12n+8+53*(n+1)/256

　　因為53與256不可約,所以判斷n=255有一解.x為整數,等于3121

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