如何正確運(yùn)用垂徑定理

     摘要：作弦AB的垂直平分線，分別交-、弦AB于C、D兩點(diǎn)。則CD為弓形的高，由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線CD上，設(shè)圓心O在如圖所示的位置，半徑為r，連結(jié)BD，在Rt△BDO中，BD=3，BO=r，OD=r-1，由勾股定理得32+(r-1)2=r2，解得r=5。答案：5……

       如何正確運(yùn)用垂徑定理

　　例1.如圖，弓形弦AB=6，弓形高為1，則其所在圓的半徑為_(kāi)____。

　　［解析］：作弦AB的垂直平分線，分別交-、弦AB于C、D兩點(diǎn)。則CD為弓形的高，由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線CD上，設(shè)圓心O在如圖所示的位置，半徑為r，連結(jié)BD，在Rt△BDO中，BD=3，BO=r，OD=r-1，由勾股定理得32+(r-1)2=r2，解得r=5。答案：5

　　［點(diǎn)評(píng)］：此題運(yùn)用了“垂直弦、平分弦就過(guò)圓心且過(guò)弧的中點(diǎn)”的垂徑定理的推論。

　　例2.已知⊙O的半徑為2cm，弦AB長(zhǎng)為2-cm，則這條弦的中點(diǎn)到弦所對(duì)劣弧的中點(diǎn)的距離為_(kāi)____。

　　［解析］：如圖，取弧AB的中點(diǎn)C，弦AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD并延長(zhǎng)，由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線CD上，且OC⊥AB。在Rt△ADO中，AD=-，AO=2，由勾股定理可求得OD=1，∴弦的中點(diǎn)到弦所對(duì)劣弧的中點(diǎn)的距離CD=2-1=1。

　　答案：1

　　［點(diǎn)評(píng)］：此題運(yùn)用了“過(guò)弧的中點(diǎn)、過(guò)弦的中點(diǎn)就過(guò)圓心且垂直于弦”的垂徑定理的推論。

　　例3.如圖，⊙O的直徑為10，弦AB為8，P是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，若OP的長(zhǎng)為整數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)P有____個(gè)。

　　［解析］：過(guò)O點(diǎn)作OC⊥AB于C，由垂徑定理可得AC=BC=4，在Rt△ACO中，由勾股定理可求得OC=3，由P點(diǎn)在線段AB上的位置可知當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，OP最短且長(zhǎng)為整數(shù)3，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A、B兩點(diǎn)時(shí)，OP最長(zhǎng)且長(zhǎng)為整數(shù)5，由于數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可知A點(diǎn)和C點(diǎn)之間必存在一點(diǎn)P，使OP的長(zhǎng)為4，同理B點(diǎn)和C點(diǎn)之間也存在一點(diǎn)P，使OP的長(zhǎng)為4。

　　∴滿足條件的點(diǎn)P一共有5個(gè)。

　　答案：5

　　［點(diǎn)評(píng)］：此題運(yùn)用了“過(guò)圓心、垂直弦，就平分弦”的垂徑定理
　　例7.如圖，⊙O的兩條弦AB、CD相交于點(diǎn)P，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且PE=PF，求證：AB=CD。

　　［全解］：如圖7-1，連結(jié)OB、OD

　　∵OE過(guò)圓心且E為AB的中點(diǎn)

　　∴OE⊥AB∴∠OEP=90°

　　同理∠OFP=90°

　　∵PE=PF∴∠PEF=∠PFE

　　∵∠OEF=90°-∠PEF，∠OFE=90°-∠PFE

　　∴∠OEF=∠OFE∴OE=OF

　　在Rt△OEB和Rt△OFD中

　　∵OE=OF，OB=OD

　　∴Rt△OEB≌Rt△OFD

　　∴BE=DF

　　∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)

　　∴AB=CD

　　［點(diǎn)評(píng)］：此題運(yùn)用了“過(guò)圓心、平分弦，就垂直弦”的垂徑定理的推論。

　　例4.已知，⊙O的半徑OA=1，弦AB、CD的長(zhǎng)分別為-、-，求∠BAC的度數(shù)。

　　［全解］：作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E

　　∴D為AB的中點(diǎn)，AD=-；E為AC的中點(diǎn)，AE=-。在Rt△ADO中，由勾股定理可得OD=AD=-，∠DAO=45°，同理∠EAO=30°。

　　當(dāng)AB、AC位于OA兩側(cè)時(shí)，∠BAC=∠BAO+∠CAO=75°（如圖8-1)

　　當(dāng)AB、AC位于OA同側(cè)時(shí)，∠BAC=∠BAO-∠CAO=15°（如圖8-2)

　　［點(diǎn)評(píng)］：此題運(yùn)用了“過(guò)圓心、垂直弦，就平分弦”的垂徑定理。

　　例5.如圖，已知AB和CD為⊙O的兩條直徑，∠AOC=60°，P為-上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不包括B、C點(diǎn))，且PE⊥OC，PF⊥OB，點(diǎn)E、F為垂足。

　　⑴∠P的大小是否隨P點(diǎn)的變化而變化？若不變化，求∠P的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

　　⑵若P為-的中點(diǎn)時(shí)，求EF:OA的值。

　　［全解］：⑴隨著點(diǎn)P的變化，∠P的大小不變。

　　∵∠AOC=60°∴∠COB=120°

　　在四邊形PEOF中

　　∵PE⊥OC，PF⊥OB

　　∴∠P=180°-120°=60°

　　⑵如圖

　　∵AB是⊙O的直徑，P為-的中點(diǎn)，PF⊥OB

　　∴PF過(guò)圓心O

　　∴點(diǎn)F與點(diǎn)O重合

　　在Rt△POE中

　　∵∠P=60°∴∠POE=30°

　　∴PE：OE：OP=1：-：2

　　∵EF=OE，OA=OP，EF：OA=OE：OP=-：2

　　［點(diǎn)評(píng)］：此題運(yùn)用了“過(guò)弧的中點(diǎn)、垂直弦，就過(guò)圓心”的垂徑定理的推論。

　　總之，垂徑定理及推論揭示了垂直于弦的直徑和這條弦以及這條弦所對(duì)的兩條弧之間的內(nèi)在關(guān)系，它包含了五個(gè)元素：①過(guò)圓心②垂直弦③平分弦④平分優(yōu)弧⑤平分劣弧，在上述5個(gè)元素中任意兩個(gè)組成題設(shè)，都能推出其他的三個(gè)結(jié)論；但要注意的是當(dāng)①過(guò)圓心與③平分弦組成題設(shè)時(shí)，被平分的弦不能是直徑。

　　 歡迎使用手機(jī)、平板等移動(dòng)設(shè)備訪問(wèn)中考網(wǎng)，2025中考一路陪伴同行！>>點(diǎn)擊查看