2019年中考數(shù)學(xué)趣味數(shù)學(xué)：書(shū)架

圖書(shū)館館長(zhǎng)德雷克女士問(wèn)她的三位助手，在某層書(shū)架上可以并排平放多少本書(shū)。她得到的回答是：

阿斯特女士：這層書(shū)架正好可以用2本圖書(shū)目錄、3本字典和3本百科全書(shū)放滿。

布賴斯女士：這層書(shū)架正好可以用4本圖書(shū)目錄、3本字典和2本百科全書(shū)放滿。

克蘭女士：這層書(shū)架正好可以用4本圖書(shū)目錄、4本字典和3本百科全書(shū)放滿。

1)只有兩位助手的回答是正確的。

2)如果用同一類(lèi)圖書(shū)放，德雷克女士發(fā)現(xiàn)只有一類(lèi)圖書(shū)能正好放滿這層書(shū)架。

3)要正好放滿這層書(shū)架，需要這類(lèi)圖書(shū)15本。

4)所有的圖書(shū)目錄開(kāi)本相同，所有的字典開(kāi)本相同，所有的百科全書(shū)開(kāi)本相同。

假設(shè)這三類(lèi)圖書(shū)并排平放時(shí)相鄰兩本書(shū)的間距都可以忽略不計(jì)，那么，用哪類(lèi)圖書(shū)可正好放滿這層書(shū)架?

提示：用代數(shù)式表示書(shū)架的寬度以及15本同類(lèi)圖書(shū)并排平放時(shí)的總寬度。根據(jù)三位女士的回答，將導(dǎo)出包含書(shū)架寬度和每類(lèi)圖書(shū)并排平放時(shí)的總寬度的三對(duì)方程;其中只有一對(duì)方程可解出取正值的各類(lèi)圖書(shū)寬度。能夠正好放滿書(shū)架的那類(lèi)圖書(shū)的寬度不能是其他兩類(lèi)圖書(shū)中任何一類(lèi)圖書(shū)寬度的倍數(shù)。)

答 案

運(yùn)用4)，設(shè)：

c=一本圖書(shū)目錄的寬度，

d=一本字典的寬度，

e=一本百科全書(shū)的寬度，

x=書(shū)架的寬度。

于是，根據(jù)每位助手的回答，相應(yīng)有：

A)阿斯特：2c+3d+3e=x，

B)布賴斯：4c+3d+2e=x，

C)克蘭：4c+4d+3e=x。

從C)減去A)，得：2c+d=0，從而d=-2c，這不可能。

從C)減去B)，得：d+e=0，從而d=-c，這不可能。

從B)減去A)，得：2c-e=0，從而e=2c，這是可能。

由于用C)同A)和B)聯(lián)立得出的解都導(dǎo)致不可能的情況，所以克蘭女士的回答是錯(cuò)誤的。于是，根據(jù){1)只有兩位助手的回答是正確的。}方程A)和B)是正確的，e=2c。

根據(jù)3)，如果是15本百科全書(shū)能正好放滿這層書(shū)架，那么

30本圖書(shū)目錄也能正好放滿這層書(shū)架。因此，根據(jù)2)，百科全書(shū)不能正好放滿這層書(shū)架。

如果是15本字典能正好放滿這層書(shū)架，那么運(yùn)用A)也可以運(yùn)用B))以及e=2c，可得：

2c+3d+3e=x，

e+3d+3e=x，

3d+4e=x，

3d+4e=15d，

4e=12d，

e=3d。

根據(jù){3)要正好放滿這層書(shū)架，需要這類(lèi)圖書(shū)15本。}，如果是15本字典能正好放滿這層書(shū)架，那么5本百科全書(shū)也能正好放滿這層書(shū)架。因此，根據(jù){2)如果用同一類(lèi)圖書(shū)放，德雷克女士發(fā)現(xiàn)只有一類(lèi)圖書(shū)能正好放滿這層書(shū)架。}，字典不能正好放滿這層書(shū)架。#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

于是，只有圖書(shū)目錄能正好放滿這層書(shū)架。

運(yùn)用A)也可以運(yùn)用B)以及e=2c，可得：

2c+3d+3e=x,

2c+3d+6c=x,

3d+8c=x,

3d+8c=15c,

3d=7c, .

既然15本圖書(shū)目錄能正好放滿這層書(shū)架，那么百科全書(shū)就不能正好放滿這層書(shū)架，因?yàn)楦鶕?jù)e=2c，書(shū)架的寬度相當(dāng)于 本百科全書(shū)的總寬度。字典也不能正好放滿這層書(shū)架，因?yàn)楦鶕?jù)，書(shū)架的寬度相當(dāng)于 本字典的總寬度。

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