2019年中考數學趣味數學：四片果樹林

斯隆先生有四片果樹林分別種了蘋果樹、檸檬樹、柑橘樹和桃樹。

1)果樹林的果樹都成行排列，每片果樹林中各行的果樹棵數相等。

2)蘋果林的行數最少，檸檬林比蘋果林多一行。柑橘林比檸檬林多一行，桃樹林又比柑橘林多一行。

3)有三片果樹林，每片果樹林四周邊界上的果樹與其內部的果樹棵數相等。

在這四片果樹中，哪一片邊界上的果樹與其內部的果樹棵數不相等?

提示：用代數式表示3)中提到的那三片果樹林邊界上果樹的棵數和內部果樹的棵數。對于這三片果樹林的相鄰邊上果樹的棵數，只有四對可能的值。)

答 案

如圖所示：

根據{1)果樹林的果樹都成行排列，每片果樹林中各行的果樹

棵數相等。}，設{3)有三片果樹林，每片果樹林四周邊界上的果樹與其內部的果樹棵數相等。}中提到的三片果樹林的兩條相鄰邊上果樹的棵數分別為x和y。于是邊界上果樹的棵數等于y+y)+x-2)+x-2),即2y+2x-4;而內部果樹的棵數等于x-2)×y-2)根據{3)有三片果樹林，每片果樹林四周邊界上的果樹與其內部的果樹棵數相等。}，

2y+2x-4=x-2)y-2)

解出x，

于是y必須大于4，而y-4必須整除4y-8。

經反復試驗，得出以下四對數值：

這里是全部可能的數值，因為4y-8)/y-4)等于4+8/y-4)，要使8/y-4)為正整數，y必須是5、6、8或者12。)

根據{2)蘋果林的行數最少，檸檬林比蘋果林多一行。柑橘林比檸檬林多一行，桃樹林又比柑橘林多一行。}，一定是蘋果林有5行，檸檬林有6行，柑橘林有7行，桃樹林有8行。

由于有7行果樹的柑橘林不能滿足條件3)，所以邊界上的果樹與內部的果樹棵數不相等的果樹林是柑橘林。

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