2019年中考數學趣味數學：三個城市

阿靈頓、布明漢和坎頓韋爾這三個城市，它們的形狀都呈長方形。

1)每個城市沿邊界街段指兩條平行街道之間的一段街道)的數目都是整數，而且市內街段總是都與沿邊界的街段平行。

2)沿城市北部邊界的街段的數目，阿靈頓最少，布明漢比阿靈頓多3段，坎頓韋爾又比布明漢多3段。

3)有兩個城市，它們市內街段的數目，等于沿整個邊界的街段的數目。

哪個城市其市內街段的數目不等于沿整個邊界的街段的數目?

提示：列出表示一個城市沿整個邊界的街段的數目的代數式和表示市內街段的數目的代數式;然后求出使兩者相等的整數解。)

答 案

如上圖所示，對于{3)有兩個城市，它們市內街段的數目，等于沿整個邊界的街段的數目。}中所指的兩個城市，以X代表其長方形城區一條邊界上的街段數目，以Y代表另一條邊界上的街段數目。于是整個邊界的街段數目等于

X+Y+X+Y，即2X+2Y

而市內街段的數目等于

XY-1)+YX-l)，即XY-X)+XY-Y)

根據3)，對于兩個城市而言

2X+2Y=XY-X+XY-Y

解出X，

X=3Y/2Y—3)，

解出Y，

Y=3X/2X-3)。

這表明X和Y都得大于l。依次設Y為2、3、4、5、6和7，得出下列數值：

YX

26

33

412/5

57/15

62

721/11

既然X必須大于1，而且根據{1)每個城市沿邊界街段指兩條平行街道之間的一段街道)的數目都是整數，而且市內街段總是都與沿邊界的街段平行。}必須是整數，那么除了上列中的整數之外，X再也沒有別的整數值了。

根據l)和上列數值，這兩個城市沿一側邊界的街段數目都

是2、3或6。根據{2)沿城市北部邊界的街段的數目，阿靈頓最少，布明漢比阿靈頓多3段，坎頓韋爾又比布明漢多3段。}，沿北部邊界，阿靈頓有3個街段，布明漢有6個街段，坎頓韋爾有9個街段。

由于沿北部邊界有9個街段的城市，不可能滿足表示條件3)的方程，所以坎頓韋爾就是那個市內街段數目不等于沿邊界街段數目的城市。

總而言之，阿靈頓的沿邊界街段和市內街段的數目都是12，而布明漢的這兩個數目都是16。

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