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來源：網絡資源 作者：中考網整理 2020-03-13 13:23:03
1．定義
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項．
2．圖象和性質
二次函數的圖象都是開口向上或者向下的拋物線，都有一條垂直于x軸的對稱軸，都有一個或者最高或者最低的頂點．一般地，二次函數y=ax2+bx+c的圖象叫做拋物線y=ax2+bx+c．
（1）y=ax2(a是常數，a≠0）的性質
①開口方向：
a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．
②頂點坐標：（0，0）
a＞0時，（0，0）為最低點；
a＜0時，（0，0）為最高點．
③對稱軸：y軸（直線x=0）．
④增減性：
當a＞0，且x＞0或a＜0，且x＜0時，
y隨x的增大而增大（同增）；
當a＞0，且x＜0或a＜0，且x＞0時，
y隨x的增大而減小（異減）．
⑤最值：
當a＞0，且x=0時，y有最小值0；
當a＜0，且x=0時，y有最大值0．
（2）y=ax2+c(a，c是常數，a≠0）的性質
①開口方向：
a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．
②頂點坐標：（0，c）
a＞0時，（0，c）為最低點；
a＜0時，（0，c）為最高點．
③對稱軸：y軸（直線x=0）．
④增減性：
當a＞0，且x＞0或a＜0，且x＜0時，
y隨x的增大而增大（同增）；
當a＞0，且x＜0或a＜0，且x＞0時，
y隨x的增大而減小（異減）．
⑤最值：
當a＞0，且x=0時，y有最小值c；
當a＜0，且x=0時，y有最大值c．
（3）y=a（x-h）2(a，h是常數，a≠0）的性質
①開口方向：
a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．
②頂點坐標：（h，0）
a＞0時，（h，0）為最低點；
a＜0時，（h，0）為最高點．
③對稱軸：直線x=h．
④增減性：
當a＞0，且x＞h或a＜0，且x＜h時，
y隨x的增大而增大（同增）；
當a＞0，且x＜h或a＜0，且x＞h時，
y隨x的增大而減小（異減）．
⑤最值：
當a＞0，且x=h時，y有最小值0；
當a＜0，且x=h時，y有最大值0．
（4）y=a（x-h）2+k(a，h，k是常數，a≠0）
的性質
①開口方向：
a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．
②頂點坐標：（h，k）
a＞0時，（h，k）為最低點；
a＜0時，（h，k）為最高點．
③對稱軸：直線x=h．
④增減性：
當a＞0，且x＞h或a＜0，且x＜h時，
y隨x的增大而增大（同增）；
當a＞0，且x＜h或a＜0，且x＞h時，
y隨x的增大而減小（異減）．
⑤最值：
當a＞0，且x=h時，y有最小值k；
當a＜0，且x=h時，y有最大值k．
（5）y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0）
的性質
①開口方向：
a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．
②頂點坐標：
a＞0時，為最低點；
a＜0時，為最高點．
③對稱軸：．
④增減性：
當a＞0，且x＞或a＜0，且x＜時，
y隨x的增大而增大（同增）；
當a＞0，且x＜或a＜0，且x＞時，
y隨x的增大而減小（異減）．
⑤最值：
當a＞0，且x=時，y有最小值；
當a＜0，且x=時，y有最大值．
3．三種表達式
（1）一般式：
y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0）；
（2）頂點式：
y=a（x-h）2+k(a，h，k是常數，a≠0）；
（3）交點式：
y=a（x-x？）（x-x？）(a，x？，x？是常數，a≠0，
x？，x？分別是拋物線與x軸交點的橫坐標）．
4．a，b，c的作用
（1）a決定拋物線的開口方向和大小：
①a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．
②|a|越大，開口越小；|a|越小，開口越大．
（2）a、b決定拋物線對稱軸的位置：
①ab＞0（a，b同號）時，
對稱軸在y軸左側(左同)
②ab＜0（a，b異號）時，
對稱軸在y軸右側(右異)
③ab=0（b=0）時，對稱軸為y軸(0中間)
（3）c決定拋物線與y軸交點（0，c）的位置：
①c＞0，拋物線與y軸正半軸相交
②c＜0，拋物線與y軸負半軸相交
③c=0，拋物線與y軸相交于原點
（4）b2-4ac決定拋物線與x軸交點的個數：
①b2-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點
②b2-4ac＜0，拋物線與x軸無交點
③b2-4ac=0，拋物線與x軸有唯一一個
交點（即拋物線的頂點）
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