2022年初中數(shù)學(xué)線面垂直的判定

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)這條直線與此平面互相垂直。判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直。

如圖，l與α內(nèi)兩條相交直線a，b都垂直，求證：l⊥α

證明：與a或b平行的直線必垂直l，因此接下來(lái)的討論圍繞與a，b不平行的直線進(jìn)行。

先將a，b，l平移至相交于O點(diǎn)，過(guò)O作任意一條直線g，在g上取異于O的點(diǎn)G，過(guò)G作GB∥a交b于B，過(guò)G作GA∥b交a于A。連接AB，設(shè)AB與OG交點(diǎn)為C

∵OA∥GB,OB∥GA

∴四邊形OAGB是平行四邊形

∴C是AB中點(diǎn)

由中線定理，OA²+OB²=2OC²+2AC²

在l上取異于O的點(diǎn)D，連接DA,DB，由中線定理

DA²+DB²=2DC²+2AC²

兩式相減可得

DA²-OA²+DB²-DB²=2DC²-2OC²

又注意到OD⊥OA,OD⊥OB

∴得OD²+OD²=2DC²-2DC²

即CD²=OD²+OC²

∴OD⊥OC

由g的任意性可知，l與α內(nèi)任意直線都垂直

∴l⊥α

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