2022初中數(shù)學(xué)利用軸對稱求距離之和最短距離

已知：如下圖，A、B兩點(diǎn)是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)

問題：在直線l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小.

分析：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A’，連結(jié)A’B，交直線于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB=A’B最小.證明過程很簡單，在直線上再任取一點(diǎn)P’，P’A=P’A’，P’A+P’B=P’A’+P’B>A’B，所以點(diǎn)P是所求.

模型應(yīng)用：

(1)如圖，正方形ABCD邊長為2，點(diǎn)E是邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上一點(diǎn).則PE+PB的最小值是 .

(2)如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一點(diǎn)，則PA+PC的最小值是 .

(3)如圖，直線AB與x軸交于點(diǎn)A(2，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0,4)，點(diǎn)C、D分別是OA、AB的中點(diǎn)，P是OB上一點(diǎn)，求△PCD周長的最小值.

以上幾題是模型1在不同題型中的運(yùn)用，同學(xué)們?nèi)绻�能練�?ldquo;火眼金睛”，善于在變化的條件中找到不變的數(shù)學(xué)模型，“以不變應(yīng)萬變”，就可以像孫悟空一樣成為考場上的“斗戰(zhàn)勝佛”.如果把模型1中的條件稍作調(diào)整，又可以得到它的一些推廣模型.

答案：

推廣1：

已知：如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn).

問題：分別在OA、OB邊上找點(diǎn)M、N，使△PMN的周長最小.

分析：△PMN的周長=PM+MN+NP，可以利用作軸對稱，把這三條線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的線段.如圖，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P’、P’’，連結(jié)P’P’’，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連結(jié)PM、PN，此時(shí)PM=P’M，PN=P’N，△PMN的周長=PM+MN+NP=P’P’’，此時(shí)周長最小.

模型應(yīng)用：如圖，點(diǎn)C(1,0)，直線y=-x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，D、E分別是AB、OA上的動點(diǎn)，則△CDE周長的最小值是

.

答案：10

推廣2：

已知：點(diǎn)P、Q是∠AOB內(nèi)部兩定點(diǎn).

問題：分別在直線OA、OB上找點(diǎn)M、N，使四邊形PMNQ的周長最小.

分析：因?yàn)镻Q的長度是定值，要使四邊形PMNQ的周長最小，就是要使PM+MN+NQ的值最小.作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P’，作點(diǎn)Q關(guān)于OB的對稱點(diǎn)Q’，連結(jié)P’Q’，分別交直線OA、OB于點(diǎn)M、N，連結(jié)PM、MN、NQ，因?yàn)镻M=P’M，QN=Q’N，所以四邊形PMNQ的周長=PM+MN+NQ+QP=P’Q’+PQ，因?yàn)镻Q是定值，而PM+MN+NQ的最小值為P’Q’的長度，所以此時(shí)四邊形PMNQ的周長最小.

模型應(yīng)用：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-8,3)，點(diǎn)B(-4,5)，點(diǎn)C(0，n)，點(diǎn)D(m，0)，當(dāng)四邊形ABCD周長最短時(shí)，求m：n的值.

答案：

在變化萬千的已知條件下，能夠找到不變的規(guī)律，這與《易經(jīng)》中闡述的“變與不變”的智慧相吻合.人類最高的智慧，就是“以不變應(yīng)萬變”，這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無敵法寶.

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