2023年初中數(shù)學(xué)三角形中線，倍長(zhǎng)中線

三角形的中線是連接三角形頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段。每個(gè)三角形都有三條中線，它們都在三角形的內(nèi)部，三條中線的交點(diǎn)是三角形的重心。這個(gè)點(diǎn)是各中線的三等分點(diǎn)。

如圖BE是∆ABC的AC邊上的中線。根據(jù)中線的定義，可知中線與對(duì)邊的交點(diǎn)是對(duì)邊的中點(diǎn)，這就有了一個(gè)隱藏的等量關(guān)系，即AE=CE。

倍長(zhǎng)中線

延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等，可以構(gòu)造全等三角形。

為了理解這種方法，我們把它補(bǔ)全成平行四邊形。延長(zhǎng)BE到點(diǎn)D使DE=BE，連接AD與CD，會(huì)得到一個(gè)平行四邊形ABCD

雖然初一還沒(méi)有學(xué)習(xí)平行四邊形，但是簡(jiǎn)單了解一下有助于我們理解倍長(zhǎng)中線這種方法。

平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等;平行四邊形的對(duì)角線互相平分。這些性質(zhì)可以和倍長(zhǎng)中線構(gòu)造的全等三角形相互理解和驗(yàn)證。

作用：轉(zhuǎn)化線段

上圖中通過(guò)倍長(zhǎng)中線，得到∆CDE≌∆ABE，可得CD=AB，這樣可以把AB轉(zhuǎn)化成CD，可以把不在同一個(gè)三角形的線段轉(zhuǎn)到同一個(gè)三角形中。

例題1：如圖∆ABC中，AB=5，AC=9，則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)度的取值范圍是多少。

比較線段的大小或確定取值范圍，可以利用三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。這樣就需要比較的線段對(duì)象要在同一個(gè)三角形的，所以可以利用倍長(zhǎng)中線來(lái)轉(zhuǎn)化線段。

所以我們延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，連接CE。

在∆ABD與∆ECD中，AD=ED，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以∆ABD≌∆ECD，所以AB=EC。把AB轉(zhuǎn)化到EC，這樣AC，EC，與中線AD就在同一個(gè)三角形中(此處AE=2AD)

然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，AC-EC

接下來(lái)我們看一下關(guān)于極限值2和7的情況。當(dāng)∠A接近180°時(shí)，即B，A，C在一條直線時(shí)，BD=BC，此時(shí)AD=(AB+BC)/2 -AB=2。當(dāng)∠A接近0°時(shí)，即A，B，C在一條直線時(shí)，BD=CD，此時(shí)AD=(AC-AB)/2 +AB=7

雖然動(dòng)圖比較直觀，但是孩子們盡量試著自己想象一下它的變化過(guò)程。

在幾何題中，只要有中點(diǎn)，我們就可以想到三角形中線，試著倍長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形(關(guān)于中點(diǎn)，我們就多了一個(gè)思路)。

下面這種圖形，已知F是BC的中點(diǎn)，雖然BE沒(méi)有連接，但是其實(shí)EF就是∆BCE的中線，可以倍長(zhǎng)EF來(lái)構(gòu)造全等三角形。例如延長(zhǎng)EF到點(diǎn)H，使HF=EF，則有∆CEF≌∆BHF。

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