2023年初中數(shù)學(xué)：函數(shù)軸對(duì)稱性的理解

秒殺結(jié)論：

函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱⇔⾃變量之和等于2a，函數(shù)值相等

反過(guò)來(lái)，如果⾃變量之和為常數(shù)，函數(shù)值相等，那就表明函數(shù)有軸對(duì)稱

⽐如f(a−x)=f(b+x)，其⾃變量之和為常數(shù)，函數(shù)值相等，因此就表示f(x)具有軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為“⾃變量之和的⼀半”，即x=a+b2

記住結(jié)論⾮常有好處，可以讓我們寫出不同形式：⽐如題⽬告訴你f(2+x)=f(−4−x)，⻢上識(shí)別函數(shù)f(x)關(guān)于x=-1對(duì)稱，于是知道其意思是“⾃變量之和為-2，函數(shù)值相等”，于是我們可以隨便寫出其他形式的表達(dá)式，⽐如說(shuō)：f(x)=f(−2−x)，⽽不⽤進(jìn)⾏復(fù)雜的換元轉(zhuǎn)化.

題1：若f(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，寫出能表達(dá)f(x)對(duì)稱性的四個(gè)等式

極簡(jiǎn)分析：f(x)關(guān)于x=2對(duì)稱 ⾃變量之和等于4，函數(shù)值相等

和為4的⾃變量很多啊，⽐如說(shuō)x和4-x，2+x和2-x，1-x和3+x，-1+2x和5-2x

于是：f(x)=f(4−x),f(2+x)=f(2−x),f(1−x)=f(3+x),f(−1+2x)=f(5−2x)

等等都能表達(dá).

只要符合題意即可，還可以寫很多

題2：若f(x)滿⾜f(1−x)=f(−5+x)，則f(x)圖像關(guān)于____對(duì)稱

極簡(jiǎn)分析：f(1−x)=f(−5+x)中的兩個(gè)⾃變量1-x和-5+x，它們的和等于-4

因此該式的含義就是“⾃變量之和等于-4，函數(shù)值相等”

其含義就是說(shuō)函數(shù) 具有軸對(duì)稱

且對(duì)稱軸為x=−42=−2對(duì)稱.

題3：若f(x)圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，當(dāng)x<2時(shí)，f(x)=x2−x，則f(6)=_____.

極簡(jiǎn)分析：函數(shù)圖像關(guān)于x=2對(duì)稱的意思，是“⾃變量之和等于4，函數(shù)相等”

因?yàn)?+(-2)=4，因此f(6)=f(−2)，因?yàn)閒(−2)=(−2)2−(−2)=6

所以f(6)=6

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