一、工程問題

列方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其核心思想就是將等量關(guān)系從情景中剝離出來，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成方程或方程組， 從而解決問題。

列方程解應(yīng)用題的一般步驟(解題思路)

(1)審——審題：認(rèn)真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系(找出等量關(guān)系).

(2)設(shè)——設(shè)出未知數(shù)：根據(jù)提問，巧設(shè)未知數(shù).

(3)列——列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

(4)解——解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)答——檢驗(yàn)，寫答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫出答案.(注意帶上單位)

【典型例題】

例1 將一批數(shù)據(jù)輸入電腦，甲獨(dú)做需要50分鐘完成，乙獨(dú)做需要30分鐘完成，現(xiàn)在甲獨(dú)做30分鐘，剩下的部分由甲、乙合做，問甲、乙兩人合做的時(shí)間是多少?

解析：首先設(shè)甲乙合作的時(shí)間是x分鐘，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：甲工作(30+x)分鐘的工作量+乙工作x分鐘的工作量=1，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，再解方程即可.

設(shè)甲乙合作的時(shí)間是x分鐘，由題意得：

【方法突破】

工程問題是典型的a=bc型數(shù)量關(guān)系，可以知二求一，三個(gè)基本量及其關(guān)系為：

工作總量=工作效率×工作時(shí)間

需要注意的是：工作總量往往在題目條件中并不會(huì)直接給出，我們可以設(shè)工作總量為單位1。

二、比賽計(jì)分問題

【典型例題】

例1某企業(yè)對應(yīng)聘人員進(jìn)行英語考試，試題由50道選擇題組成，評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每道題的答案選對得3分，不選得0分，選錯(cuò)倒扣1分。已知某人有5道題未作，得了103分，則這個(gè)人選錯(cuò)了 多少道題。

解：設(shè)這個(gè)人選對了x道題目，則選錯(cuò)了(45-x)道題，于是

3x-(45-x)=103

4x=148

解得 x=37

則 45-x=8

答：這個(gè)人選錯(cuò)了8道題.

例2某校高一年級有12個(gè)班.在學(xué)校組織的高一年級籃球比賽中，規(guī)定每兩個(gè)班之間只進(jìn)行一場比賽，每場比賽都要分出勝負(fù)，每班勝一場得2分，負(fù)一場得1分.某班要想在全部比賽中得18分，那么這個(gè)班的勝負(fù)場數(shù)應(yīng)分別是多少?

因?yàn)楣灿?2個(gè)班，且規(guī)定每兩個(gè)班之間只進(jìn)行一場比賽，所以這個(gè)班應(yīng)該比賽11場，設(shè)勝了x場，那么負(fù)了(11-x)場，根據(jù)得分為18分可列方程求解.

【解析】

設(shè)勝了x場，那么負(fù)了(11-x)場.

2x+1•(11-x)=18

x=7

11-7=4

那么這個(gè)班的勝負(fù)場數(shù)應(yīng)分別是7和4.

【方法突破】

比賽積分問題的關(guān)鍵是要了解比賽的積分規(guī)則，規(guī)則不同，積分方式不同，常見的數(shù)量關(guān)系有：

每隊(duì)的勝場數(shù)+負(fù)場數(shù)+平場數(shù)=這個(gè)隊(duì)比賽場次;

得分總數(shù)+失分總數(shù)=總積分;

失分常用負(fù)數(shù)表示，有些時(shí)候平場不計(jì)分，另外如果設(shè)場數(shù)或者題數(shù)為x，那么x最后的取值必須為正整數(shù)。

三、順逆流(風(fēng))問題

【典型例題】

例1 某輪船的靜水速度為v千米/時(shí)，水流速度為m千米/時(shí)，則這艘輪船在兩碼頭間往返一次順流與逆流的時(shí)間比是( )

【方法突破】

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜水速)不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系.即順?biāo)�逆水問題常用等量關(guān)系：順?biāo)�路�?逆水路程.

順?biāo)?風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度+水流(風(fēng))速度

逆水(風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度-水流(風(fēng))速度

水流速度=(順?biāo)�速�?逆水速度)÷2

四、調(diào)配問題

【典型例題】

例1 某廠一車間有64人，二車間有56人.現(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半.問需從第一車間調(diào)多少人到第二車間?

解析：如果設(shè)從一車間調(diào)出的人數(shù)為x，那么有如下數(shù)量關(guān)系

設(shè)需從第一車間調(diào)x人到第二車間，根據(jù)題意得：

2(64-x)=56+x，

解得x=24;

答：需從第一車間調(diào)24人到第二車間.

五、連比條件巧設(shè)x

【典型例題】

例1. 一個(gè)三角形三邊長之比為2：3：4，周長為36cm，求此三角形的三邊長.

解析：設(shè)三邊長分別為2x，3x，4x，根據(jù)周長為36cm，可得出方程，解出即可.

設(shè)三邊長分別為2x，3x，4x，

由題意得，2x+3x+4x=36，

解得：x=4.

故三邊長為：8cm，12cm，16cm.

【方法突破】

比例分配問題的一般思路為：設(shè)其中一份為x ，利用已知的比，寫出相應(yīng)的代數(shù)式。

常用等量關(guān)系：各部分之和=總量。

六、配套問題

【典型例題】

例1 包裝廠有工人42人，每個(gè)工人平均每小時(shí)可以生產(chǎn)圓形鐵片120片，或長方形鐵片80片，兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套成一個(gè)密封圓桶，問每天如何安排工人生產(chǎn)圓形和長方形鐵片能合理地將鐵片配套?

解法1：可設(shè)安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，則生產(chǎn)圓形鐵片的人數(shù)為(42-x)人，根據(jù)兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套成一個(gè)密封圓桶可列出關(guān)于x的方程，求解即可.

設(shè)安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，則生產(chǎn)圓形鐵片的人數(shù)為(42-x)人，由題意得：

120(42-x)=2×80x，

去括號(hào)，得5040-120x=160x，

移項(xiàng)、合并得280x=5040，

系數(shù)化為1，得x=18，

42-18=24(人);

答：安排24人生產(chǎn)圓形鐵片，18人生產(chǎn)長方形鐵片能合理地將鐵片配套.

解法2：若安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，y人生產(chǎn)圓形鐵片，根據(jù)共有42名工人，可知x+y=42.再根據(jù)兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套可知2×80x=120y，列出二元一次方程組求解。

設(shè)安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，y人生產(chǎn)圓形鐵片，則有

答：安排24人生產(chǎn)圓形鐵片，18人生產(chǎn)長方形鐵片能合理地將鐵片配套.

七、日歷問題

八、利潤及打折問題

【典型例題】

例1：(2016•荊州)互聯(lián)網(wǎng)“微商”經(jīng)營已成為大眾創(chuàng)業(yè)新途徑，某微信平臺(tái)上一件商品標(biāo)價(jià)為200元，按標(biāo)價(jià)的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進(jìn)價(jià)為(　　)

A.120元 B.100元

C.80元 D.60元

分析：設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)為x元/件，根據(jù)“售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤”即可列出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論.

解：設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)為x元/件，

依題意得：(x+20)=200×0.5，

解得：x=80.

∴該商品的進(jìn)價(jià)為80元/件.[來源:http://Zxxk.Com]

故選C.

【方法突破】

商品銷售額=商品銷售價(jià)×商品銷售量

商品的銷售總利潤=(銷售價(jià)-成本價(jià))× 銷售量

單件商品利潤=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率-商品進(jìn)價(jià)

商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的十分之幾出售，即商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率

九、利率和增長率問題

【典型例題】

例1(2016•安徽)2014年我省財(cái)政收入比2013年增長8.9%，2015年比2014年增長9.5%，若2013年和2015年我省財(cái)政收入分別為a億元和b億元，則a、b之間滿足的關(guān)系式為(　　)

A.b=a(1+8.9%+9.5%)

B.b=a(1+8.9%×9.5%)

C.b=a(1+8.9%)(1+9.5%)

D.b=a(1+8.9%)2(1+9.5%)

分析：根據(jù)2013年我省財(cái)政收入和2014年我省財(cái)政收入比2013年增長8.9%，求出2014年我省財(cái)政收入，再根據(jù)出2015年比2014年增長9.5%，2015年我省財(cái)政收為b億元，

即可得出a、b之間的關(guān)系式.

解：∵2013年我省財(cái)政收入為a億元，2014年我省財(cái)政收入比2013年增長8.9%，

∴2014年我省財(cái)政收入為a(1+8.9%)億元，

∵2015年比2014年增長9.5%，2015年我省財(cái)政收為b億元，

∴2015年我省財(cái)政收為b=a(1+8.9%)(1+9.5%);

故選C.

十、方案選擇問題(1)

【典型例題】

例1某家電商場計(jì)劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺(tái)電視機(jī).已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元.

(1)若家電商場同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬元，請你研究一下商場的進(jìn)貨方案.

(2)若商場銷售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)B種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)C種電視機(jī)可獲利250元，在同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)方案中，為了使銷售時(shí)獲利最多，你選擇哪種方案?

解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機(jī)這三種方案分別計(jì)算，

設(shè)購A種電視機(jī)x臺(tái)，則B種電視機(jī)y臺(tái).

(1)①當(dāng)選購A，B兩種電視機(jī)時(shí)，B種電視機(jī)購(50-x)臺(tái)，可得方程

1500x+2100(50-x)=90000

即 5x+7(50-x)=300

2x=50

x=25

50-x=25

②當(dāng)選購A，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)購(50-x)臺(tái)，

可得方程 1500x+2500(50-x)=90000

3x+5(50-x)=180

x=35

50-x=15

③當(dāng)購B，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)為(50-y)臺(tái).

可得方程 2100y+2500(50-y)=90000

21y+25(50-y)=900，4y=350，不合題意

由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機(jī)各25臺(tái);二是購A種電視機(jī)35臺(tái)，C種電視機(jī)15臺(tái).

(2)若選擇(1)中的方案①，可獲利

150×25+200×25=8750(元)

若選擇(1)中的方案②，可獲利

150×35+250×15=9000(元)

9000>8750

故為了獲利最多，選擇第二種方案.

【方法突破】

這類問題根據(jù)題意分別列出不同的方案的代數(shù)式，再通過計(jì)算比較結(jié)果，即可得到滿足題意的方案，需要注意的是要留意題目中的方案要求，常見的是要求利潤最大，但是有時(shí)也有要求消庫存最多或者最節(jié)約成本，要注意審題，不可犯慣性錯(cuò)誤。

十一、方案選擇問題(2)

【典型例題】

例1某班準(zhǔn)備購置一些乒乓球和乒乓球拍，班主任李老師安排小明和小強(qiáng)分別到甲、乙兩家商店咨詢了同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍的價(jià)格，下面是小明、小強(qiáng)和李老師的對話.

小明：甲商店乒乓球拍每副定價(jià)30元，乒乓球每盒定價(jià)5元，每買一副乒乓球拍可以贈(zèng)送一盒乒乓球.

小強(qiáng)：乙商店乒乓球和乒乓球拍的定價(jià)與甲商店一樣，但乙商店可以全部按定價(jià)的九折優(yōu)惠.

李老師：我們班需要乒乓球拍5副，乒乓球不少于5盒.

根據(jù)以上對話回答下列問題：

(1)當(dāng)購置的乒乓球?yàn)槎嗌俸袝r(shí)，甲、乙兩家商店所需費(fèi)用一樣多?

(2)若需要購置30盒乒乓球，你認(rèn)為到哪家商店購買更合算?(要求有計(jì)算過程)

【解析】(1)根據(jù)題意可設(shè)當(dāng)購買乒乓球x盒時(shí)，兩種優(yōu)惠辦法付款一樣，列出一元一次方程解答即可.

(2)求出當(dāng)購買30盒乒乓球時(shí)，甲、乙兩家商店各需要多少元，據(jù)此即可解答.

(1)設(shè)當(dāng)購買乒乓球x盒時(shí)，

甲店：30×5+5×(x-5)=5x+125，

乙店：90%(30×5+5x)=4.5x+135，

由題意可知：5x+125=4.5x+135，

解得：x=20;即當(dāng)購買乒乓球20盒時(shí)，甲、乙兩家商店所需費(fèi)用一樣多.

(2)當(dāng)購買30盒乒乓球時(shí)，

去甲店購買要5×30+125=275(元)，

去乙店購買要4.5×30+135=270(元)，

所以去乙店購買合算.

【方法突破】

解決最佳選擇問題的一般步驟：

1、運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況;

2、用特殊值試探法選擇方案，取小于(或大于)一元一次方程解得值，分別代入兩種方案中計(jì)算，比較兩種方案的優(yōu)劣后下結(jié)論。

十二、分配問題

【典型例題】

例1.學(xué)校分配學(xué)生住宿，如果每室住8人，還少12個(gè)床位，如果每室住9人，則空出兩個(gè)房間。求房間的個(gè)數(shù)和學(xué)生的人數(shù)。

解：設(shè)房間數(shù)為x個(gè)，則有學(xué)生8x+12人，于是

8x+12=9(x-2)

解得 x=30

則 8x+12=252

答：房間數(shù)為30個(gè)，學(xué)生252人。

【方法突破】

這類分配問題中往往有兩個(gè)不變量，一般為參與分配的人數(shù)和被分配的物品數(shù)量，抓住這兩個(gè)不變量，用不同的代數(shù)式表示不同的分配方式，然后利用總數(shù)相等建立等量關(guān)系，問題也就迎刃而解了。

十三、有規(guī)律的相鄰數(shù)問題

【典型例題】

例1 一組數(shù)列1、4、7、10、…，其中有三個(gè)相鄰的數(shù)的和為66，求這三個(gè)數(shù).

解析：觀察數(shù)列易得這個(gè)數(shù)列后面的數(shù)比它前面的數(shù)大3，設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，表示出其余兩數(shù)，根據(jù)3個(gè)數(shù)相加等于66，列出方程，解方程即可.

設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，則第二個(gè)數(shù)為x+3，第三個(gè)數(shù)為x+6，

依題意有：x+x+3+x+6=66，

解得x=19.

答：這三個(gè)數(shù)分別為：19、22、25.

【方法突破】

(1) 首先我們要熟悉數(shù)字問題中一些常用的表示：例如n可以表示任意整數(shù)，那么三個(gè)連續(xù)的整數(shù)可以表示為n-1，n，n+1或者n，n+1，n+2等形式;偶數(shù)常用2n表示,奇數(shù)常用2n+1或2n-1表示。

(2) 如果所給的數(shù)列是有一定規(guī)律的數(shù)列，我們關(guān)鍵要找到這列數(shù)字的規(guī)律，然后用相應(yīng)的代數(shù)式表示出相鄰數(shù)，再列方程求解。

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