初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn) 圓

一、圓的相關(guān)概念

1、圓的定義

在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

2、圓的幾何表示

以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”

二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義

(1)弦

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。(如圖中的AB)

(2)直徑

經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。(如途中的CD)

直徑等于半徑的2倍。

(3)半圓

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

(4)弧、優(yōu)弧、劣弧

圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。

弧用符號(hào)“⌒”表示，以A，B為端點(diǎn)的弧記作“ ”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優(yōu)弧(多用三個(gè)字母表示);小于半圓的弧叫做劣弧(多用兩個(gè)字母表示)

三、垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

垂徑定理及其推論可概括為：

過圓心

垂直于弦

直徑 平分弦 知二推三

平分弦所對(duì)的優(yōu)弧

平分弦所對(duì)的劣弧

四、圓的對(duì)稱性

1、圓的軸對(duì)稱性

圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。

2、圓的中心對(duì)稱性

圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。

五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

1、圓心角

頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距

從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

六、圓周角定理及其推論

1、圓周角

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。

推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則有：

d

d=r 點(diǎn)P在⊙O上;

d>r 點(diǎn)P在⊙O外。

八、過三點(diǎn)的圓

1、過三點(diǎn)的圓

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

2、三角形的外接圓

經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。

3、三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心。

4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)(四點(diǎn)共圓的判定條件)

圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。

九、反證法

先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理，引出矛盾，判定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

十、直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：

(1)相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn);

(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：

直線l與⊙O相交 d

直線l與⊙O相切 d=r;

直線l與⊙O相離 d>r;

十一、切線的判定和性質(zhì)

1、切線的判定定理

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

2、切線的性質(zhì)定理

圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

十二、切線長(zhǎng)定理

1、切線長(zhǎng)

在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

2、切線長(zhǎng)定理

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

十三、三角形的內(nèi)切圓

1、三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

2、三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。

十四、圓和圓的位置關(guān)系

1、圓和圓的位置關(guān)系

如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。

如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。

如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相交。

2、圓心距

兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。

3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么

兩圓外離 d>R+r

兩圓外切 d=R+r

兩圓相交 R-r

兩圓內(nèi)切 d=R-r(R>r)

兩圓內(nèi)含 dr)

4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)

如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的連心線;相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

十五、正多邊形和圓

1、正多邊形的定義

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形和圓的關(guān)系

只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。

十六、與正多邊形有關(guān)的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角。

十七、正多邊形的對(duì)稱性

1、正多邊形的軸對(duì)稱性

正多邊形都是軸對(duì)稱圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對(duì)稱性

邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是正多邊形的中心。

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。

十八、弧長(zhǎng)和扇形面積

1、弧長(zhǎng)公式

n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式為

2、扇形面積公式

其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長(zhǎng)。

3、圓錐的側(cè)面積

其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的地面半徑。

初中幾何掌握知識(shí)點(diǎn)然后靈活應(yīng)用比較重要，希望大家牢記知識(shí)點(diǎn)然后靈活應(yīng)用。

　　 歡迎使用手機(jī)、平板等移動(dòng)設(shè)備訪問中考網(wǎng)，2025中考一路陪伴同行！>>點(diǎn)擊查看