復習

復習是個好習慣，在進行本篇內容之前我們先回憶上一篇內容得出的結論：(還指望我粘貼復制嗎，當然要你背啦)

復習完畢，開始正題

1.解析式的由來

上一篇的內容，幫我們建立了幾何觀念上的函數即：函數是線。只有幾何觀念，對于函數來講是完全不夠的，屬于缺胳膊少腿，不完整。數學數學，沒有代數就沒有靈魂，所以今天我們來把它的靈魂給它裝進去。畢竟是要裝靈魂嘛，是個技術活，那就先拿最簡單的練練手，也就是一次函數，看看它的軀殼

噫，花里胡哨，亂七八糟。先拿一個出來，用放大鏡看一下

嗯，有那么點兒意思了，原來函數線真的是由坐標點組成的，我們上一篇的理論就被實錘了。這點被實錘了，那是不是就可以這樣理解函數的代數化=坐標點的代數化。而且，非常巧的是，每一個坐標點都有著相對應的橫坐標和縱坐標來表達其身份地位，橫坐標、縱坐標又剛好是數字。蘋果都砸到你頭上了，下一步該怎么辦不用我多說了吧，當然是把它們列出來好好觀察啊。

(5，9)(4，6)(3，3)(2，0)(1，-3)(0，-6)(-1，-9)

觀察完畢后，按照牛頓的做法，你是不是就想問：為什么這些點在一條直線上?然后我就想一粉筆頭砸你頭上，忘了前一篇的內容了?因為它們有規律啊!!!既然是規律，那就是變化，是變化按照我們的通用解法，先來個后面的減前面的。這里是坐標點，所以我們就后面的橫坐標減前面的橫坐標，縱坐標同理。

先來橫坐標

4-5=-1

3-4=-1

2-3=-1

1-2=-1

可知都等于-1

再來縱坐標

6-9=-3

3-6=-3

0-3=-3

-3-0=-3

可知都等于-3

看出道道了嘛，反正我看出來了，那就是在相鄰坐標點之間，橫坐標減1，縱坐標要減3，反過來橫坐標加1，縱坐標要加3。這到底對不對呢，不妨做一下驗證，按照這個思路，分別找出(5，9)前面的坐標點和(-1，-9)后面的坐標點。(5，9)前面坐標點的橫坐標為6，從5到6橫坐標加1，那縱坐標加3即點(6，9)同理可得(-1，-9)后面的坐標點為(-2，-12)，描點連線

很明顯，新得出的點和原來的點是在一條直線上，證明我們得到的規律是沒有錯的。既然相鄰坐標點之間，有著橫坐標減1，縱坐標要減3，反過來橫坐標加1，縱坐標要加3這樣的規律，是不是就萬事大吉了呢?顯然不是，比如，請你找出(-2，-12)之后的第50個坐標點。那你豈不是要重復上面的做法50遍?50遍你說你行，好，那請問第2020個呢?你還說你行，我再問第20102949203個呢?不行了吧。too young too simple。這就說明我們得到的規律不夠普遍，不足以用于計算，需要繼續推廣化。

我們在小學二年級學過加減法的推廣運算是乘除法，我們就把規律總結為乘除的規律即縱坐標的增加量是橫坐標增加量的3倍。先驗證一下符不符合原來的比如(5，9)和(2，0)用一下新得到的規律

從5到2增加了-3，縱坐標就要增加-9，9+(-9)=0，bingo正確。

后的第50個坐標點再計算(-2，-12)之后的第50個坐標點

在-2后面，又是第50個，所以橫坐標=-52，根據規律有縱坐標=-12-50*3=-162

同理可計算任意坐標點

觀察計算過程可知，計算本條直線的任意坐標點，需要用到我們的規律和一個已知坐標點。

滿足于本條直線坐標點的規律找到了，別忘了我們的最終目標：規律代數化。我們任意給出本條直線上一坐標點(x，y)，選取(5，9)為基準坐標點。

縱坐標的增加量

y-9

橫坐標的增加量

x-5

縱坐標的增加量是橫坐標增加量的3倍

y-9=3*(x-5)

得y=3x-6

所以y=3x-6代表了本條線的所有坐標點，進而代表了本條直線

還沒完，這條線是3倍，那有沒有4倍，5倍，6倍，肯定是有的，所以我們就令k=任意常數，順理成章的就把這個規律推廣到了所有一次函數線即在一次函數線中，縱坐標的增加量是橫坐標增加量的k倍。現在要完成這條規律代數化，以表達所有的一次函數線。已知一條一次函數線，縱坐標的增加量是橫坐標增加量的k倍，已知坐標點(m，n)，求任意坐標點(x，y)。

縱坐標的增加量

y-n

橫坐標的增加量

x-m

縱坐標的增加量是橫坐標增加量的k倍

y-n=k*(x-m)

y=kx+n-km(看起來太復雜不清爽)

不妨令b=n-km

所以y=kx+b

大功告成y=kx+b就是所有一次函數線的代表

做了這么多的工作，終于把一次函數從直線變成了y=kx+b這樣一條代數式，又是求解又是分析的，給這條代數式起個名字吧就叫解析式。幾何方面的一次函數都有定義，代數方面的自然不能少，結合以上內容就是一次函數的定義形如y=kx+b(k，b為常數，k≠0)，其中x為自變量y為因變量，叫做一次函數

老規矩總結一下

perfect，接下來看性質

2.相關性質

說到性質，必然就是考察的重點，也就是痛點了，怎么才能把性質記好?喂，這是數學欸，當然是要理解記憶最好了啊。那我要理解誰呢?喂，解析式都給你了，你看啊，y=kx+b，當然是理解k和b怎么影響函數了啊

k值怎么影響函數

從定義里我們知道k=任意常數，我們在小學二年級學過數是有大小有正負的，就從這兩個方面來看k值對于一次函數線的影響。

(1)正負

在研究k值，根據控制變量法，需保持b值不變，干脆一點直接讓b=0。列幾個k值正負不同的解析式，然后作圖觀察

y=2x | y=4x | y=12x | y=-2x | y=-8x | y=-12x

作圖流程：求點坐標、描點、連線

看圖很容易發現

k>0的一次函數，圖像都經過第一、第三象限

k<0的一次函數，圖像都經過第二、第四象限

由此可知k值的正負影響著一次函數坐標點的分布

k的正負不同y隨x的變化情況也不同

(2)大小

研究方法同上，還是它們幾個

y=2x | y=4x | y=12x | y=-2x | y=-8x | y=-12x

作圖流程：求點坐標、描點、連線

可以看到紅、綠、藍三條線的k值分別為2、4、12，很容易發現

當k>0時

k值越大，圖像與x軸夾角就越大

圖像與x軸夾角永遠都是銳角

當k<0時

k值越大，圖像與x軸夾角也是越大

圖像與x軸夾角永遠都是鈍角

因此k值有個額外稱呼叫：斜率

b值怎么影響函數

跟k值的研究方法意義，但是我們不能讓k=0，因為定義不允許，因此我們保持k值不變。列幾個k值相同b值不同的大家觀察一下就好了。

y=2x+1 | y=2x+3 | y=2x+5 | y=2x-1 | y=2x-3 | y=2x-5

作圖

也非常明顯

b>0時

圖像與y軸交于y軸正半軸

b值越大，與y軸交點越靠上

b<0時

圖像與y軸交于y軸負半軸

b值越小，與y軸交點越靠下

還可以發現

k值相同，直線都是平行的

這些直線都可以用y=2x向上或向下平移相應個單位得到

b值也有個額外稱呼叫：截距

小段總結

3.相關考點

(1)圖像考察

#1給圖像辨別k值、b值正負與大小(經常與其它函數結合)

#2給b值、k值辨別圖像

#3圖像實際應用(k>0，第一象限內)

原理：x值相同，k值越大，y值越大

#4如圖所示，當x=5時，y值大小依次是：紅線<綠線<藍線

##考察方式為，把橫縱坐標U/I即為初三物理電學圖像考察，換成m/v即為初二物理質量與密度圖像考察，換成F/V即為初二浮力圖像考察，同理還有v-t圖、s-t圖等等，貫穿初高中物理，高中物理還可以用圖像解決復雜勻加勻減的位移問題

#5化學也同理可換

#6學數學的同時，把這么多的理化問題都學了，我就問你愛了沒有。真是撿到寶了呢，哈哈哈哈哈

(2)求解析式

#1這個題目的原理就是兩點確定一條直線

知道任意兩點坐標，代入y=kx+b，可得關于k、b的二元一次方程，解出k、b就可以了，不多說。不會就去學一下二年級學過的解二元一次方程

#2你也可以先求k，再用我教你的計算方法，不過還是推薦課本的解法，還能練習一下解二元一次方程

(3)解應用題

#1關鍵在于設未知數，列方程，復雜一點的可能要結合圖像，考察“數形結合”這個數學思想

#2動點問題里如果關系式為一次函數關系，要結合取值范圍來求解

(4)與其它函數組成綜合問題

#1求面積

#2求長度

#3求相應的最大最小值，要結合取值范圍來看

#4求坐標點

(5)函數與方程

#1只需要理解一點，當y=0時，一次函數就變成了kx+b=0，也就變成了一元一次方程。

#2從代數層面看坐標點(x，0)的橫坐標是對應方程的解

#3從幾何層面看一次函數圖像與x軸交點為一個方程點，理解好這里對于二次函數根的理解很有幫助

(6)函數與不等式

#1這里還是“數形結合”思想的應用

#2比如2x+1>0，可以看出y=2x+1這個函數的y>0，也就是x軸上方的圖像

#3如2x+1>-3x+4，可以看成y1=2x+1與y2=-3x+4這兩個函數圖像的比較

##第一步要找到交點，看圖可知交點坐標為(3/5，11/5)

##沒有交點就是沒有解

##第二步要分兩部分看，交點左邊和交點右邊

##該圖可知交點左邊，藍線騎在紅線頭上，所以是2x+1<-3x+4對應不等式的解為x<3/5

##交點右邊是紅線騎在藍線頭上，所以是2x+1>-3x+4對應不等式的解為x>3/5

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