一元二次方程的基本內(nèi)容

現(xiàn)有一個(gè)長方形寬為x米，長比寬的2倍少3米，那么當(dāng)面積為10平方米時(shí)寬是多少?

根據(jù)長方形的面積公式我們能夠得到：(2x-3)·x=10，化簡(jiǎn)后，2x^2-3x-10=0。在數(shù)學(xué)中，我們把這類式子叫做“一元二次方程”。

1、方程滿足的條件

●(1)等號(hào)兩邊都是整式

●(2)只含有一個(gè)未知數(shù)

●(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程

2、方程的形式

一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，

特征：等式左邊加一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù);bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù);c叫做常數(shù)項(xiàng)。

3、方程的性質(zhì)

(1)一元二次方程根的判別式：當(dāng)ax2+bx+c=0 (a≠0)時(shí)，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判別式。

當(dāng)Δ>0 <=> 有兩個(gè)不等的實(shí)根;

當(dāng)Δ=0 <=> 有兩個(gè)相等的實(shí)根;

當(dāng)Δ<0 <=> 無實(shí)根。

注意：當(dāng)Δ≥0 <=> 有兩個(gè)實(shí)根，需要根據(jù)題目要求，驗(yàn)證這兩個(gè)實(shí)根是否相等。

(2)方程的兩根與方程系數(shù)的關(guān)系：x1+x2= -b/a，x1·x2=c/a，方程兩根為x1，x2時(shí)，方程為：x2+(x1+x2)X+x1x2=0。

一元二次方程的應(yīng)用

01、方程解法

一元二次方程的解是以降次為目的，以求解方法為主要手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。一元二次方程的一般解法有以下幾種：

解一元二次方程時(shí)一般不使用配方法(除特別要求外)，但必須熟練掌握。解一元二次方程選擇方法的一般順序是：直接開平方法→因式分解法→公式法→配方法。

02、根的判別式

利用一元二次方程根的判別式，確定方程字母系數(shù)的值時(shí)候，要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零這個(gè)隱含條件。

主要考察內(nèi)容：

(1)不解方程，應(yīng)用根的判別式，判斷一元二次方程根的情況

(2)已知方程中根的情況，如何由判別式逆推參數(shù)的取值范圍

(3)分類討論：如果方程沒有支出二次方程和根的情況，一定要對(duì)方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程可能是一元一次方程，如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0，一元二次方程可能有兩個(gè)相等或不相等的實(shí)數(shù)根以及無實(shí)數(shù)根。

(4)一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合

03、實(shí)際問題

列一元二次方程解實(shí)際應(yīng)用的步驟：

審：審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系

設(shè)：設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量

列：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程

解：解方程，注意分式方程需要檢驗(yàn)，將所求量表示清晰

驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否滿足題目條件，注意要使其實(shí)際問題有意義答：寫出答案，切忌答非所問

三類常見問題：

01、增長率的等量關(guān)系

增長率=(正常量/基礎(chǔ)量)*100%

設(shè)a為原來量，m為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量，則a(1+m)n=b。當(dāng)m為平均下降量時(shí)，n為下降次數(shù)，b為下降后的量，則有a(1-m)n=b。

02、利潤的等量關(guān)系

利潤=售價(jià)-成本

利潤率=(利潤/成本)*100%

這類題的難點(diǎn)就在于同學(xué)不清楚價(jià)格變化和銷售量變化之間的關(guān)系，不管你運(yùn)用哪種解題方法，能夠清晰解析出題目的各個(gè)變量之間的關(guān)系，才是重中之重。

03、幾何問題等量關(guān)系

這類問題主要根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或公式等來尋找等量關(guān)系，常與三角形、四邊形、不等式(組)等知識(shí)綜合命題，解答時(shí)要在全面分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧。

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