2023年初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)——二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式

　　函數(shù)在數(shù)學(xué)中占有很大的比例，但是函數(shù)的學(xué)習(xí)卻很復(fù)雜。其考察的內(nèi)容有很多方面，開口方向、對稱軸及坐標(biāo)公式都是考察的重點(diǎn)。下面小編為大家整理了二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的相關(guān)公式，希望能幫到大家。

　　一、基本簡介

　　一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。x為自變量，y為因變量。等號右邊自變量的最高次數(shù)是2。

　　主要特點(diǎn)

　　“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”。“未知數(shù)”只是一個數(shù)（具體值未知，但是只取一個值），“變量”可在一定范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個數(shù)或函數(shù)——也會遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別.如同函數(shù)不等于函數(shù)關(guān)系。

　　二次函數(shù)圖像與X軸交點(diǎn)的情況

　　當(dāng)△=b2-4ac>0時，函數(shù)圖像與x軸有兩個交點(diǎn)。

　　當(dāng)△=b2-4ac=0時，函數(shù)圖像與x軸只有一個交點(diǎn)。

　　當(dāng)△=b2-4ac<0時，函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)。

　　二、二次函數(shù)圖像

　　在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)圖像將是由一般式平移得到的。

　　軸對稱

　　二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a

　　對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。

　　特別地，當(dāng)b=0時，二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）。

　　a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè).

　　a,b異號，對稱軸在y軸右側(cè).

　　頂點(diǎn)

　　二次函數(shù)圖像有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(h,k)即(-b/2a,(4ac-b2/4a).

　　當(dāng)h=0時，P在y軸上；當(dāng)k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k。

　　h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a。

　　開口方向和大小

　　二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。

　　當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則二次函數(shù)圖像的開口越小。

　　決定對稱軸位置的因素折疊

　　一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

　　當(dāng)a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；因?yàn)閷ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號

　　當(dāng)a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因?yàn)閷ΨQ軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

　　可簡單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。

　　事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

　　決定與y軸交點(diǎn)的因素

　　常數(shù)項(xiàng)c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)。

　　二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C）

　　注意：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k)，與y軸交于（0,C)。

　　與x軸交點(diǎn)個數(shù)

　　a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點(diǎn)。

　　k=0時，二次函數(shù)圖像與x軸只有1個交點(diǎn)。

　　a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函數(shù)圖像與X軸無交點(diǎn)。

　　當(dāng)a>0時，函數(shù)在x=h處取得最小值ymin=k，在xh范圍內(nèi)是增函數(shù)（即y隨x的變大而變小），二次函數(shù)圖像的開口向上，函數(shù)的值域是y>k

　　當(dāng)a<0時，函數(shù)在x=h處取得最大值ymax=k，在xh范圍內(nèi)是減函數(shù)（即y隨x的變大而變大），二次函數(shù)圖像的開口向下，函數(shù)的值域是y
　　當(dāng)h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)

　　三、二次函數(shù)公式匯總：交點(diǎn)式、兩根式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　　（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），則稱y為x的二次函數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）

　　（2）頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k或y=a（x+m）^2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0）。

　　（3）交點(diǎn)式（與x軸）：y=a（x-x1）（x-x2）

　　（4）兩根式：y=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，a≠0.

　　說明：

　　（1）任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），h=0時，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k=0時，拋物線a（x-h）2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h=0且k=0時，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。

　　（2）當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時，即對應(yīng)二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根x1和x2存在時，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）。

　　數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不難，重要的是找到學(xué)習(xí)的興趣，興趣是學(xué)習(xí)最好的老師，是走向成功的階梯。

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