相似三角形

◆ 簡介：三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形(similar triangles)。相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣。全等三角形可以被理解為相似比為1的相似三角形。相似三角形其實是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是幾何中兩個三角形中，邊、角的關系。

◆ 性質：

1. 相似三角形對應角相等，對應邊成比例。

2. 相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比。

3. 相似三角形周長的比等于相似比。

4. 相似三角形面積的比等于相似比的平方。

由 4 可得：相似比等于面積比的算術平方根。

5. 相似三角形內切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內切圓、外接圓面積比是相似比的平方

6. 若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中項

7. a/b=c/d等同于ad=bc.

8. 不必是在同一平面內的三角形里。

◆ 判定：

類比全等三角形的判定定理，可以得出下列結論：

定理兩角分別對應相等的兩個三角形相似。

定理兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

定理三邊成比例的兩個三角形相似。

定理一條直角邊與斜邊成比例的兩個直角三角形相似。

根據以上判定定理，可以推出下列結論：

推論三邊對應平行的兩個三角形相似。

推論一個三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。

◆ 推論：

推論一：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。

推論二：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。

推論三：如果一個三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。

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