2023年初中數學：判定一個四邊形是特殊四邊形的步驟

判定一個四邊形是特殊四邊形的步驟：

常見考法

(1)利用菱形、矩形、正方形的性質進行邊、角以及面積等計算;

(2)靈活運用判定定理證明一個四邊形(或平行四邊形)是菱形、矩形、正方形;

(3)一些折疊問題;

(4)矩形與直角三角形和等腰三角形有著密切聯系、正方形與等腰直角三角形也有著密切聯系。所以，以此為背景可以設置許多考題。

誤區提醒

(1)平行四邊形的所有性質矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性質平行四邊形不一定具有，這點易出現混淆;

(2)矩形、菱形具有的性質正方形都具有，而正方形具有的性質，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，這點也易出現混淆;

(3)不能正確的理解和運用判定定理進行證明，(如在證明菱形時，把四條邊相等的四邊形是菱形誤解成兩組鄰邊相等的四邊形是菱形);(3)再利用對角線長度求菱形的面積時，忘記乘;(3)判定一個四邊形是特殊的平行四邊形的條件不充分。

【典型例題】(2010天門、潛江、仙桃)正方形ABCD中，點O是對角線DB的中點，點P是DB所在直線上的一個動點，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.

(1)當點P與點O重合時(如圖①)，猜測AP與EF的數量及位置關系，并證明你的結論;

(2)當點P在線段DB上(不與點D、O、B重合)時(如圖②)，探究(1)中的結論是否成立?若成立，寫出證明過程;若不成立，請說明理由;

(3)當點P在DB的長延長線上時，請將圖③補充完整，并判斷(1)中的結論是否成立?若成立，直接寫出結論;若不成立，請寫出相應的結論.

【解析】(1)AP=EF，AP⊥EF，理由如下：

連接AC，則AC必過點O，延長FO交AB于M;

∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四邊形ABCD是正方形，

∴四邊形OECF是正方形，

∴OM=OF=OE=AM，

∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，

∴△AMO≌△FOE，

∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF.

(2)題(1)的結論仍然成立，理由如下：

延長AP交BC于N，延長FP交AB于M;

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，

∴四邊形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°;

又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，

∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE，

∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF

∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，

∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF.

(3)題(1)(2)的結論仍然成立;

如右圖，延長AB交PF于H，證法與(2)完全相同

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