▊ 三角形兩邊

定理 三角形兩邊的和大于第三邊

推論 三角形兩邊的差小于第三邊

▊ 三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

▊ 三角形的重心

三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。

在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線，三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做“三角形的重心”。

▊ 與三角形有關(guān)的角

1、三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°，與三角形的形狀無(wú)關(guān)。

2、直角三角形兩個(gè)銳角的關(guān)系：直角三角形的兩個(gè)銳角互余(相加為90°)。有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。

3、三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和;三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角;三角形三個(gè)外角和為360°。

▊ 等腰三角形的性質(zhì)和判定

◆ 性質(zhì)

1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成"等邊對(duì)等角")。

2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成"等腰三角形的三線合一")。

3.等腰三角形的兩底角的平分線相等(兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等)。

4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。

5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。

6.等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高(需用等面積法證明)。

7.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，只有一條對(duì)稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸，等邊三角形有三條對(duì)稱軸。[1]

◆ 判定

在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(定義)。

在同一三角形中，有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊)

▊ 全等三角形的性質(zhì)和判定

全等三角形共有5種判定方式：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。特殊情況下平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)折也會(huì)構(gòu)成全等三角形。

1、SSS(邊邊邊)，即三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

2、SAS(邊角邊)，即三角形的其中兩條邊對(duì)應(yīng)相等，且兩條邊的夾角也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

3、ASA(角邊角)，即三角形的其中兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且兩個(gè)角夾的的邊也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

4、AAS(角角邊)，即三角形的其中兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且對(duì)應(yīng)相等的角所對(duì)應(yīng)的邊也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

5、HL(斜邊、直角邊)，即在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

注意：

1、SSS、SAS、ASA、AAS可用于任意三角形;HL只限于直角三角形.

2、SSA、AAA不能判定全等三角形.

3、在證明時(shí)注意利用定理，如：等式性質(zhì)、等量代換、等角重合有等角、公共邊、公共角、對(duì)頂角相等、等角或同角的余角或補(bǔ)角相等、角平分線定義、線段中點(diǎn)定義等.

4、證明全等寫(xiě)條件時(shí)注意書(shū)寫(xiě)順序.

5、寫(xiě)全等結(jié)論時(shí)注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的位置.

6、有時(shí)全等三角形會(huì)結(jié)合等腰三角形出現(xiàn)命題.

▊ 直角三角形的判定

判定1：有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

判定3：若一個(gè)三角形30°內(nèi)角所對(duì)的邊是某一邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條長(zhǎng)邊為斜邊的直角三角形。

判定4：兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形。

判定5：證明直角三角形全等時(shí)可以利用HL ，兩個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等，以及一個(gè)直角邊對(duì)應(yīng)相等，則兩直角三角形全等。[定理：斜邊和一條直角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。簡(jiǎn)稱為HL]

判定6：若兩直線相交且它們的斜率之積互為負(fù)倒數(shù)，則這兩直線垂直。

判定7：在一個(gè)三角形中若它一邊上的中線等于這條中線所在邊的一半，那么這個(gè)三角形為直角三角形。

▊ 等邊三角形的判定

⑴三邊相等的三角形是等邊三角形(定義)。

⑵三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。

⑶有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形。

⑷ 有兩個(gè)角等于60度的三角形是等邊三角形。

▊ 勾股定理：

內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么

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