2023年初中數(shù)學(xué)：解三角形必備的知識點(diǎn)

1、直角三角形中各元素間的關(guān)系

在△ABC中，C=90°，AB=c，AC=b，BC=a。

(1)三邊之間的關(guān)系: a² +b²=c²。(勾股定理)

(2)銳角之間的關(guān)系:A+B=90°

(3)邊角之間的關(guān)系:(銳角三角函數(shù)定義)

sinA=cosB=a/c, cosA= sinB=b/c，tanA=a/b。

2、斜三角形中各元素間的關(guān)系

在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。

(1)三角形內(nèi)角和:A+B+C=π 。

(2)正弦定理:在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。

形式一：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R為外接圓半徑)

形式二：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(邊化正弦)

形式三：a：b：c=sinA：sinB：sinC(比的性質(zhì))

形式四：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R(正弦化邊)

(3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

形式一：a²= b²+ c²- 2bccosA;

b²=c²+a² - 2cacosB;

c²=a²+b²- 2abcosC。

形式二：cosA=(b²+ c²-a²)/2bc，

cosB=(a²+ c²-b²)/2ac，

cosC=(a²+b²-c²)/2ab。

3、三角形的面積公式:

4、解三角形：

由三角形的六個(gè)元素(即三條邊和三個(gè)內(nèi)角)中的三個(gè)元素(其中至少有一個(gè)是邊)求其他未知元素的問題叫做解三角形。廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等。主要類型:

(1)兩類正弦定理解三角形的問題。

第 1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角。

第2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角。

(2)兩類余弦定理解三角形的問題:

第1、已知三邊求三角。

第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角。

5、三角形中的三角變換

三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。

(1)角的變換

因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=π，所以sin( A+B )=sinC; cos(A+B)=-cosC;tan( A+B )=-tanC。

(2)判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式。

6、三角形的五心:

垂心一一三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)

重心一一三角形三條中線的相交于一點(diǎn)

外心一一三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)

內(nèi)心一一三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)

旁心一一三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)

7、三角形誘導(dǎo)公式：

公式一：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等。

sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

公式二：設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。

sin(π+α)= -sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)= tanα

cot(π+α)=cotα

公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系(利用 原函數(shù) 奇偶性)。

sin(-α)=-sinα

cos(-α)= cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五利：用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)= cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六：π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。

sin(π/2+α)=cosα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2+α)=-cotα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2+α)=-tanα

cot(π/2-α)=tanα

8、求解三角形應(yīng)用題的一般步驟:

(1)分析:分析題意，弄清已知和所求;

(2)建模:將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，寫出已知與所求，并畫出示意圖;

(3)求解:正確運(yùn)用正、余定理求解;

(4)檢驗(yàn):檢驗(yàn)上述所求是否符合實(shí)際意義。

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