易錯點突破

1.運用三角形三邊關系性質致誤

例1、若等腰三角形的一條邊長為6厘米，另一邊長為2厘米，則它的周長為( ).

A.10厘米 B.14厘米 C.10厘米或14厘米 D.無法確定

錯解：由于本題未指明所給邊長是等腰三角形的腰還是底，所以需討論：①當腰長為6厘米時，底邊長為2厘米，則周長為6+6+2=14(cm);②當腰長為2厘米時，底邊長為6厘米，則周長為6+2+2=10(cm). 故選C.

分析：本題錯在沒有注意到三角形成立的條件：“三角形的任意兩邊之和大于第 三邊”，當腰長為2厘米，底邊長為6厘米時，不能構成三角形.

正解：本題只能把6厘米作為腰，2厘米作為底，故三角形的周長為14厘米，故選B.

2.應用判定方法致誤

例2、如圖3，已知AB=DC，OA=OD，∠A=∠D. 問∠1=∠2嗎?試說明理由.

錯解：∠1=∠2. 理由如下：

在△AOB和△DOC中，因為AB=DC，OA=OD，∠AOB=∠DOC，

所以△AOB≌△DOC，所以∠1=∠2.

分析：不存在“角角角(AAA)”和“邊邊角(SSA)”的判定方法，即對于一般三 角形，“有三個角對應相等的兩個三角形不一定全等”和“有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定 全等.”

正解：在△AOB和△DOC中，因為AB=DC，∠A=∠D，OA=OD，

所以△AO B≌△DOC(SAS)，所以∠1=∠2.

3.不理解“對應”致誤

例3、已知在兩個直角三角形中，有一對銳角相等，又有一組邊相等，那么這兩個三角形是否全等?

錯解：這兩個三角形全等.

分析：對“ASA”全等判定法中“對應邊相等”沒有理解，錯把邊相等當成對應邊相等.

正解：這兩個三角形不一定全等. 如圖4所示，在RT△EDC中，∠1=∠2，CD=AB，∠C=∠C=90°，顯然△ABC和△EDC不全等.

重難點析解

1.三角形的有關概念

例1能把一個三角形分成面積相等的兩部分的是該三角形的一條( )

A.中線 B.角平分線 C.高線 D.邊的垂直平分線

分析：根據 三角形中線的特征及其面積公式可知，等底同高的兩三角形的面積相等.

解：只有三角形的一條中線才能把三角形的面積分成相等的兩部分. 故選A.

評注：三角形的“三線”在解題中有著廣泛的應用，因此，要正確認識其定義及特征.

2.三角形的三邊之間的關系

例2下列長度的三條線段，能組成三角形的是( ).

A.1厘米，2 厘米，3厘米 B.2厘米，3 厘米，6 厘米

C.4厘米，6 厘米，8厘米 D.5厘米，6 厘米，12厘米

分析：判斷三條線段能否構成三角形，只需檢驗兩條較短的線段之和是否大于最長線段即可，若大于則能構成，否則不能構成.

解：根據“三角形 的兩邊之和大于第三邊”.然后觀察四個選項，滿足兩邊之和大于第三邊的只有4厘米，6 厘米，8厘米. 故選C.

評注：涉及三角形三邊關系的問題時，應注意三角形三邊關系的應用.

3.三角形的內角和

例3、如圖5，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3的度數是( ).

A.55° B.65° C.75° D.85°

分析：本題 可利用平角及鄰補角的定義，把 和 轉化為三角形的內角.

解：由圖5可知：與∠1相鄰的補角為80°，與∠2相鄰的補角為35°，由三角形的內角和為180°，可得∠3=180°-80°-35°=65° . 故選B.

評注：涉及三角形有關的角度計算問題，一般要考慮到三角形內角和的應用.

4.全等三角形的性質

例4、如圖6，已知AB=AD，AC=AE ，∠1=∠2 .試說明BC=DE.

分析：要說明BC=DE，只要說明△ABC≌△ADE即可. 由已知條件可知，這兩個三角形已經具備兩邊對應相等，因此再找這兩邊的夾角相等即可.

解：因為∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE .

又因為AB=AD，AC=AE，所以△ABC≌△ADE(SAS)，所以BC=DE .

評注：因為全等三角形的對應邊相等，所以要說明分別屬于兩個三角形的線段相等，常常通過說明這兩個三角形全等來解決問題.

5.利用三角形全等解決實際問題

例5、如圖7，A，B，C，D是四個村莊，B，D，C在一條東西走向公路的沿線上，BD=1千米，DC=1千米，村莊AC、AD間也有公路相連，且AD⊥ BC，AC=3千米，只有村莊AB之間由于間隔了一個小湖，所以無直接相連的公路. 現準備在湖面上造一座斜拉橋，測得AE=1.2千米，BF=0.7千米. 試求所建造的斜拉橋長有多少千米?

分析：由于村莊AB之間間隔了一個小湖，無法直接測量，故可利用轉化思想，由△ADB≌△ADC，得AB=AC=3千米，從而計算出EF的長.

解：在△ADB和△ADC中，因為BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，

所以△ADB≌△ADC(SAS).所以AB=AC=3千米.

所以EF=AB-(AE+BF)=3-(1.2+0.7)=1.1(千米).

評注：三角形全等是證明線段、角相等的重要依據，教材中全等三角形的例題、習題有很多是與生活息息相關的，其基本思路是通過建立數學模型，把實際問題先轉化為數學問題.

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